一般化した三角関数の可能性を引き続き探る
前回の関数
fと
gが微分可能関数であるならばさらに話は広がる。
微分の定義と前回の1.2.式を使えば
- f'(x) = f(x)g'(0) + g(x)f'(0)
- g'(x) = g(x)g'(0) - f(x)f'(0)
を得るが、行列の表示を使えば
| d |
( |
f(x) |
) |
= A |
( |
f(x) |
) |
| dx |
g(x) |
g(x) |
|
| 但し A = |
( |
g'(0) |
f'(0) |
) |
| -f'(0) |
g'(0) |
|
となり、
f(0)=0、
g(0)=1の条件でこの微分方程式を解くと
| ( |
f(x) |
) |
= eAx |
( |
0 |
) |
| g(x) |
1 |
を得る。
前回
z(x)={
f(x)}
2+{
g(x)}
2と置いたが、[A,A
T]=AA
T-A
TA=0なので、
| z(x) = ( f(x) g(x) ) |
( |
f(x) |
) |
| g(x) |
| = ( 0 1 ) (eAx)T eAx |
( |
0 |
) |
| 1 |
| = ( 0 1 ) eATx eAx |
( |
0 |
) |
| 1 |
| = ( 0 1 ) e(AT+A)x |
( |
0 |
) |
| 1 |
| = ( 0 1 ) e2g'(0)Ix |
( |
0 |
) |
| 1 |
| = e2g'(0)x ( 0 1 ) I |
( |
0 |
) |
| 1 |
と変形できる。ここでIは単位行列である。
惜しい… 前回の元の条件が緩くて、これ以上の結果は出ない。
しかし
g'(0)=0ならばe
2g'(0)xは発散せずに{
f(x)}
2+{
g(x)}
2=1を満たす。
しかも前回導いた式から
f(x)は奇関数、
g(x)は偶関数になる。
2014/04/09 23:39