一般化した三角関数の可能性を引き続き探る

前回の関数fgが微分可能関数であるならばさらに話は広がる。
微分の定義と前回の1.2.式を使えば
  • f'(x) = f(x)g'(0) + g(x)f'(0)
  • g'(x) = g(x)g'(0) - f(x)f'(0)
を得るが、行列の表示を使えば
d ( f(x) ) = A ( f(x) )
dx g(x) g(x)
但し A = ( g'(0) f'(0) )
-f'(0) g'(0)
となり、f(0)=0、g(0)=1の条件でこの微分方程式を解くと
( f(x) ) = eAx ( 0 )
g(x) 1
を得る。
前回z(x)={f(x)}2+{g(x)}2と置いたが、[A,AT]=AAT-ATA=0なので、
z(x) = ( f(x) g(x) ) ( f(x) )
g(x)
= ( 0 1 ) (eAx)T eAx ( 0 )
1
= ( 0 1 ) eATx eAx ( 0 )
1
= ( 0 1 ) e(AT+A)x ( 0 )
1
= ( 0 1 ) e2g'(0)Ix ( 0 )
1
= e2g'(0)x ( 0 1 ) I ( 0 )
1
= e2g'(0)x
と変形できる。ここでIは単位行列である。

惜しい… 前回の元の条件が緩くて、これ以上の結果は出ない。
しかしg'(0)=0ならばe2g'(0)xは発散せずに{f(x)}2+{g(x)}2=1を満たす。
しかも前回導いた式からf(x)は奇関数、g(x)は偶関数になる。
2014/04/09 23:39
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